Exercice corrigé de probabilité
Corrigé fourni par DeepSeek
[\latexpage]
Pour résoudre ce problème de probabilité, nous allons suivre les étapes suivantes :
- Premier tirage :
- Boules dans l’urne : 5 rouges et 6 jaunes, soit un total de 11 boules.
- Probabilité de tirer une boule rouge P(R)= $\frac{5}{11} $
- Probabilité de tirer une boule jaune P(J)= $\frac{6}{11} $
- Actions après le premier tirage :
- Si la boule tirée est rouge : On la remet dans l’urne. L’urne reste donc inchangée avec 5 boules rouges et 6 jaunes.
- Si la boule tirée est jaune : On la garde. L’urne contient alors 5 boules rouges et 5 jaunes.
- Deuxième tirage (simultané de deux boules) :
- Cas 1 : Premier tirage rouge (urne inchangée)
- Boules dans l’urne : 5 rouges et 6 jaunes.
- Probabilité de tirer deux boules de la même couleur :
- Deux rouges : $ \frac{\binom{5}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{10}{55} $
- Deux jaunes : $ \frac{\binom{6}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{15}{55} $
- Total : $ \frac{10}{55} + \frac{15}{55} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11} $
- Cas 2 : Premier tirage jaune (urne modifiée)
- Boules dans l’urne : 5 rouges et 5 jaunes.
- Probabilité de tirer deux boules de la même couleur :
- Deux rouges : $ \frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{10}{45} $
- Deux jaunes : $\frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{10}{45} $
- Total : $ \frac{10}{45} + \frac{10}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} $
- Calcul de la probabilité totale :
- Probabilité totale : $ P(R) \times \text{Probabilité dans Cas 1} + P(J) \times \text{Probabilité dans Cas 2} $
- $ \frac{5}{11} \times \frac{5}{11} + \frac{6}{11} \times \frac{4}{9} $
- $\frac{25}{121} + \frac{24}{99} $
- Simplifier $ \frac{24}{99} $ en $ \frac{8}{33} $
- Convertir $\frac{25}{121} $ en $ \frac{75}{363} $ et $ \frac{8}{33} $ en $ \frac{88}{363} $
- $ \frac{75}{363} + \frac{88}{363} = \frac{163}{363} $
- Simplification finale :
- $ \frac{163}{363} $ ne peut pas être simplifié davantage.
Réponse finale :
$$
\boxed{\dfrac{163}{363}}
$$
