Exercice précédent corrigé par DeepSeek
Voici le corrigé détaillé de l’exercice avec les explications nécessaires pour chaque événement.
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Données du problème :
- Un sac contient :
- 5 boules bleues,
- 3 boules rouges,
- 2 boules jaunes.
- On tire simultanément 3 boules du sac.
- L’ensemble des tirages possibles est l’ensemble des combinaisons de 3 boules parmi 10. Le cardinal de cet ensemble est :
$Card(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120.$
1) Événement A : « Obtenir trois boules bleues »
- Nombre de cas favorables :
On choisit 3 boules parmi les 5 boules bleues. Le nombre de combinaisons est :
$Card(A) = C_{5}^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10.$ - Probabilité de A :
$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \approx 0,083.
$
2) Événement B : « Obtenir trois boules de couleurs différentes »
- Nombre de cas favorables :
Pour avoir trois boules de couleurs différentes, il faut tirer : - 1 boule bleue parmi 5,
- 1 boule rouge parmi 3,
- 1 boule jaune parmi 2.
Le nombre de combinaisons est :
$Card(B) = C_{5}^1 \times C_{3}^1 \times C_{2}^1 = 5 \times 3 \times 2 = 30.$ - Probabilité de B :
$P(B) = \frac{\text{card}(B)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4} = 0,25.$
3) Événement C : « Obtenir au moins une boule jaune »
- Méthode 1 : Calcul direct
- On calcule la probabilité de l’événement contraire $(\overline{C})$ : « n’obtenir aucune boule jaune ».
- Pour ne tirer aucune boule jaune, on choisit 3 boules parmi les 8 boules non jaunes (5 bleues + 3 rouges). Le nombre de combinaisons est :
$C(\overline{C}) = C_{8}^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56.$ - La probabilité de $(\overline{C})$ est :
$P(\overline{C}) = \frac{\text{card}(\overline{C})}{\text{card}(\Omega)} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}.$ - La probabilité de (C) est donc :
$P(C) = 1 – P(\overline{C}) = 1 – \frac{7}{15} = \frac{8}{15} \approx 0,533.$ - Méthode 2 : Calcul direct (alternative)
- On peut aussi calculer directement (P(C)) en considérant les cas où on tire 1, 2 ou 3 boules jaunes.
- Cependant, cette méthode est plus longue et moins efficace que la méthode de l’événement contraire.
Résumé des résultats :
- $(P(A) = \frac{1}{12} \approx 0,083)$,
- $(P(B) = \frac{1}{4} = 0,25)$,
- $(P(C) = \frac{8}{15} \approx 0,533).$
