Trois exercices corrigés sur les suites

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Corrigé de l’exercice 35

solution de cet exercice svp

Voici une solution détaillée pour l’exercice demandé :

35 a) $$ u_n = \frac{5n – 1}{2n + 3} $$

Pour déterminer la limite de cette suite lorsque $ n \to +\infty $, on divise le numérateur et le dénominateur par $ n $ (le terme de plus haut degré) :

$$
u_n = \frac{5 – \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}}
$$

Quand $ n \to +\infty $, les termes $ \frac{1}{n} $ et $ \frac{3}{n} $ tendent vers 0. Ainsi :

$$
\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{5 – 0}{2 + 0} = \frac{5}{2}
$$

Conclusion : La suite $ u_n $ converge vers $ \frac{5}{2} $.

35 b) $$ u_n = \frac{5n + 7}{n^2 – n + 1} $$

Ici, le terme dominant au dénominateur est $ n^2 $. On divise donc le numérateur et le dénominateur par $ n^2 $ :

$$
u_n = \frac{\frac{5}{n} + \frac{7}{n^2}}{1 – \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}
$$

Quand $ n \to +\infty $, les termes $ \frac{5}{n} $, $ \frac{7}{n^2} $, $ \frac{1}{n} $, et $ \frac{1}{n^2} $ tendent tous vers 0. Ainsi :

$$
\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{0 + 0}{1 – 0 + 0} = 0
$$

Conclusion : La suite $ u_n $ converge vers 0.

35 c) $$ u_n = \frac{an^2 + bn + c}{n + 1} $$

Pour cette suite, le comportement dépend des valeurs des coefficients $ a, b, c $. On divise par le terme dominant du dénominateur, soit $ n $ :

$$
u_n = \frac{a n^2/n + b n/n + c/n}{n/n + 1/n} = \frac{an + b + c/n}{1 + 1/n}
$$

Quand $ n \to +\infty $ :

Si $ a > 0 $, le terme dominant est $ an / (1) = an $, donc la suite diverge vers $ +\infty $.
Si $ a < 0 $, la suite diverge vers $ -\infty $.
Si $ a = 0 $, alors la limite dépend du terme suivant :
Si $ b > 0, u_n = b/1 = b > 0$,

Corrigé de l’exercice 36

a) $$ u_n = \frac{2n + (-1)^n}{3n + (-1)^{n+1}} $$

On analyse le comportement de $ u_n $ lorsque $ n \to \infty $.

Le terme dominant au numérateur est $ 2n $, et celui du dénominateur est $ 3n $.
Les termes oscillants $ (-1)^n $ et $ (-1)^{n+1} $ deviennent négligeables lorsque $ n \to \infty $.

Ainsi :
$$
u_n = \frac{2n + (-1)^n}{3n + (-1)^{n+1}} = \frac{2 + \frac{(-1)^n}{n}}{3 + \frac{(-1)^{n+1}}{n}}
$$

Lorsque $ n \to \infty $, les termes $ \frac{(-1)^n}{n} $ et $ \frac{(-1)^{n+1}}{n} $ tendent vers 0. Donc :
$$
\lim_{n \to \infty} u_n = \frac{2}{3}.
$$

b) $$ u_n = \frac{n^2 + \cos n}{3(n+1)^2\sin 5n} $$

On analyse le comportement de $ u_n $ lorsque $ n \to \infty $.

Le terme dominant au numérateur est $ n^2 $, et celui du dénominateur est $ 3(n+1)^2 = 3(n^2 + 2n + 1) $.
La fonction sinus oscille entre -1 et 1, ce qui complique l’étude de la limite.

Ainsi :
$$
u_n = \frac{n^2 + O(1)}{3(n^2 + 2n + 1)\sin 5n}.
$$

Pour des valeurs de $ n > 0, |\sin 5n| > 0, u_n$ diverge car la fonction sinus oscille sans se stabiliser. La suite ne converge pas.

c) $$ u_n = \frac{\sqrt{4n^2 + 3n + 1}}{5n – 6} $$

On analyse le comportement de cette suite lorsque $ n \to \infty$.

Le terme dominant sous la racine au numérateur est $ 4n^2$, ce qui donne approximativement $ \sqrt{4} n = 2n$.
Au dénominateur, le terme dominant est $ 5n$.

Ainsi :
$$
u_n = \frac{\sqrt{4n^2 + 3n + 1}}{5n – 6} = \frac{\sqrt{4 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}}{5 – \frac{6}{n}}.
$$

Lorsque $ n \to \infty$, les termes $ \frac{3}{n} ,\,\frac{6}{n},\,\text{et}\,\frac{1}{n^2}$ tendent vers zéro. Donc :
$$
u_n = \frac{\sqrt{4}}{5} = \frac{2}{5}.
$$

Conclusion :
$$
\lim_{n\to\infty} u_n = \frac{2}{5}.
$$