Exercice corrigé sur les suites
Corrigé
\[latexpage]
Pour résoudre cet exercice, analysons les éléments donnés.
Données du problème
- $ (u_n) $ est une suite géométrique de raison $ q $, ce qui signifie que :
$$
u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \text{ou encore} \quad u_n = u_0 \cdot q^n.
$$ - On doit calculer le produit $$ u_0 u_1 \dots u_n $$ en fonction de $u_0 $, $ q $, et $ n $.
Étapes de la résolution
1. Expression générale des termes de la suite
Les termes de la suite sont donnés par :
$$
u_k = u_0 \cdot q^k, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n.
$$
2. Produit des termes
Le produit demandé est :
$$
P = u_0 \cdot u_1 \cdot u_2 \cdots u_n.
$$
En remplaçant chaque terme $$ u_k = u_0 \cdot q^k $$, on obtient :
$$
P = (u_0) \cdot (u_0 q) \cdot (u_0 q^2) \cdots (u_0 q^n).
$$
Facteur commun $$ u_0^{n+1} $$ :
$$
P = u_0^{n+1} \cdot (q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdots q^n).
$$
3. Produit des puissances de $$ q $$
Le produit des puissances de $$ q $$ est :
$$
q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdots q^n = q^{0+1+2+\dots+n}.
$$
La somme des premiers entiers naturels $$ 0 + 1 + 2 + \dots + n $$ est donnée par la formule :
$$
S = \frac{n(n+1)}{2}.
$$
Donc :
$$
q^{0+1+2+\dots+n} = q^{\frac{n(n+1)}{2}}.
$$
4. Expression finale
En combinant tout, on obtient :
$$
P = u_0^{n+1} \cdot q^{\frac{n(n+1)}{2}}.
$$
Résultat
Le produit des termes $$ u_0 u_1 \dots u_n $$ est donné par :
$$
P = u_0^{n+1} \cdot q^{\frac{n(n+1)}{2}}.
$$
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