Racines d’un polynôme de degré 5 ou plus

Que nous répond DeepSeek quand on lui demande si l’on peur trouver analytiquement les racines d’un polynôme de degré 5 ?

Voici sa réponse:

Non, en général, on ne peut pas trouver analytiquement les racines d’un polynôme de degré 5 (ou plus) par une formule générale. Cela est dû au théorème d’Abel-Ruffini, qui stipule qu’il n’existe pas de formule algébrique générale (c’est-à-dire une formule utilisant uniquement des opérations arithmétiques et des radicaux) pour résoudre les équations polynomiales de degré 5 ou plus.

Explications :

Théorème d’Abel-Ruffini :

Ce théorème, démontré au début du XIXe siècle, affirme que les équations polynomiales de degré 5 ou plus ne sont pas résolubles par radicaux en général. Cela signifie qu’il n’existe pas de formule analogue à la formule quadratique (pour les équations de degré 2) ou aux formules de Cardano (pour les équations de degré 3 et 4) pour les équations de degré 5 ou plus.

Cas particuliers :

Bien que les équations de degré 5 ne soient pas résolubles par radicaux en général, certains polynômes de degré 5 peuvent avoir des racines exprimables analytiquement. Par exemple, si le polynôme peut être factorisé en des polynômes de degré inférieur (comme (x^5 – x = x(x^4 – 1)), alors ses racines peuvent être trouvées explicitement.
De plus, certaines équations de degré 5 ont des formes spéciales (comme les équations cyclotomiques ou les équations de Bring-Jerrard) qui permettent de trouver des solutions analytiques.

Méthodes alternatives :

Pour les polynômes de degré 5 ou plus, on utilise généralement des méthodes numériques (comme la méthode de Newton-Raphson) pour approximer les racines.
On peut aussi utiliser des méthodes symboliques (comme les algorithmes de factorisation ou les méthodes basées sur la théorie de Galois) pour déterminer si les racines peuvent être exprimées analytiquement dans des cas particuliers.

Conclusion :

En général, les racines d’un polynôme de degré 5 ne peuvent pas être exprimées analytiquement par une formule générale. Cependant, dans certains cas particuliers, il est possible de les trouver explicitement. Pour les cas généraux, on recourt à des méthodes numériques ou symboliques.