Exercice corrigé de probabilité

Exercice corrigé de probabilité

Énoncé

Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules noires, indiscernables au toucher. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.

1- Quelle est la probabilité qu’au moins une boule noire figure dans le tirage ?
2- Sachant qu’au moins une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire

Corrigé

\[latexpage]

1. Probabilité qu’au moins une boule noire figure dans le tirage

Énoncé : Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire successivement et sans remise 3 boules. Quelle est la probabilité qu’au moins une boule noire figure dans le tirage ?

Réflexion :

Pour calculer la probabilité qu’au moins une boule noire soit tirée, il est souvent plus simple de calculer la probabilité de l’événement complémentaire, c’est-à-dire la probabilité qu’aucune boule noire ne soit tirée (c’est-à-dire que toutes les boules tirées soient blanches), puis de soustraire cette probabilité de 1.

Calcul :

1. Nombre total de boules : 8 blanches + 2 noires = 10 boules.
2. Nombre de façons de tirer 3 boules parmi 10 : C(10,3) = 120.
3. Nombre de façons de tirer 3 boules blanches parmi 8 : C(8,3) = 56.
4. Probabilité de tirer 3 boules blanches : P(3 blanches) = C(8,3) / C(10,3) = 56 / 120 = 7/15.
5. Probabilité de tirer au moins une boule noire : P(au moins 1 noire) = 1 – P(3 blanches) = 1 – 7/15 = 8/15.

Réponse : La probabilité qu’au moins une boule noire figure dans le tirage est de 8/15.

2. Probabilité que la première boule tirée soit noire, sachant qu’au moins une boule noire figure dans le tirage

Énoncé : Sachant qu’au moins une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire ?

Réflexion :

Il s’agit d’une probabilité conditionnelle. On cherche P(première boule noire | au moins une boule noire). Selon la formule des probabilités conditionnelles :

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $

Ici, A est l’événement « la première boule tirée est noire », et B est l’événement « au moins une boule noire est tirée ».

Calcul :

1. Calcul de P(B) : On l’a déjà calculé dans la première partie, P(B) = 8/15.
2. Calcul de P(A ∩ B) : P(A ∩ B) est la probabilité que la première boule soit noire et qu’il y ait au moins une boule noire dans le tirage. Puisque si la première boule est noire, il y a forcément au moins une boule noire, P(A ∩ B) = P(A).

• Calcul de P(A) : La probabilité que la première boule tirée soit noire est simplement le nombre de boules noires divisé par le nombre total de boules, soit 2/10 = 1/5.

1. Application de la formule :

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/5}{8/15} = \frac{1}{5} \times \frac{15}{8} = \frac{3}{8} $

Réponse : La probabilité que la première boule tirée soit noire, sachant qu’au moins une boule noire figure dans le tirage, est de 3/8.

Résumé des réponses :

1. Probabilité qu’au moins une boule noire figure dans le tirage : 8/15.
2. Probabilité que la première boule tirée soit noire, sachant qu’au moins une boule noire figure dans le tirage : 3/8.

Follow us