Utilité et diverses applications
Outre la place importante qu’elle occupe dans les mathématiques, la transformee de Foirier est un outil magique qui apporte un soutien inégalable à divers domaines et notamment en traitement du signal.
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Définition de la transformée de Fourier $\hat{f}$ de $f$
$$\hat{f} (x)= \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i x t} \, dt
$$
En effet, la transformée de Fourier est un outil fondamental pour la compréhension et la mise en œuvre de nombreuses techniques numériques de traitement des signaux et des images. On la trouve dans des applications directes comme l’analyse harmonique des vibrations et des signaux musicaux, mais aussi dans des domaines très variés. On peut citer toutes les applications où il est nécessaire de mettre en forme les signaux mesurés par des capteurs grâce à un filtrage. On l’utilise dans le codage à débit réduit de la musique et de la parole, la reconnaissance vocale, l’amélioration de la qualité des images, leur compression, les transmissions numériques, les nouveaux systèmes de radiodiffusion et de télédiffusion, dans les applications biomédicales (scanner, imagerie par résonance magnétique nucléaire), en astronomie (synthèse d’image par interférométrie), en modélisation de propagation d’ondes, en analyse spectrale pour l’étude de structures moléculaires ainsi qu’en cristallographie. Son extension (calculs sur les corps finis) est utilisée dans les méthodes de correction d’erreurs en transmission numérique. Elle intervient aussi dans les méthodes envisagées en informatique quantique pour la factorisation de nombres.
