Rappels du cours


Nombres complexes sous format PDFTélécharger ici





Cours sur les Nombres Complexes
Epsilon.tn
8 octobre 2023

1. Définition

Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres réels, et i est une unité imaginaire telle que i^2 = -1.

2. Forme cartésienne

Dans la forme cartésienne, un nombre complexe est exprimé comme z = a + bi. Ici, a est appelé la partie réelle de z (notée Re(z)) et b est appelé la partie imaginaire de z (notée Im(z)).

3. Opérations sur les nombres complexes

3.1. Addition (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

3.2. Multiplication (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

4. Conjugué et module

4.1. Conjugué Le conjugué d’un nombre complexe z = a + bi est le nombre \overline{z} = a - bi.

4.2. Module Le module d’un nombre complexe z = a + bi est donné par :
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

5. Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Définition
Soit z un nombre complexe non nul. On peut écrire (z) sous la forme:
z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))
r = |z| est le module de z et \theta est un argument de z. Cette représentation est appelée la forme trigonométrique de z.

\newtheorem{theorem}{Théorème}\begin{theorem}[Formule de De Moivre]
Pour tout nombre complexe (z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))) et pour tout entier naturel (n), on a:
z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))

6. Forme exponentielle d’un nombre complexe

Grâce à la formule d’Euler, e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta), on peut représenter un nombre complexe sous forme exponentielle.

Définition
Soit z un nombre complexe non nul. La forme exponentielle de z est donnée par :
z = re^{i\theta}
r = |z| est le module de z et \theta est un argument de z.

\newtheorem{theorem}{Théorème}\begin{theorem}[]
La multiplication et la division de nombres complexes sont particulièrement simples sous la forme exponentielle. Soient z_1 = r_1e^{i\theta_1} et z_2 = r_2e^{i\theta_2} deux nombres complexes. Alors,

    \[ z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\]


et, si z_2 \neq 0,

    \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\]

7. Propriétés fondamentales Les nombres complexes possèdent de nombreuses propriétés intéressantes qui facilitent les calculs. Par exemple:


  • Le conjugué du produit de deux nombres complexes est le produit de leurs conjugués.
  • L’argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments.