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Nombres complexes sous format PDF – Télécharger ici
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Cours sur les Nombres Complexes
8 octobre 2023
Un nombre complexe est un nombre de la forme $z = a + bi$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, et $i$ est une unité imaginaire telle que $i^2 = -1$.
Dans la forme cartésienne, un nombre complexe est exprimé comme $z = a + bi$. Ici, $a$ est appelé la partie réelle de $z$ (notée $Re(z)$) et $b$ est appelé la partie imaginaire de $z$ (notée $Im(z)$).
3. Opérations sur les nombres complexes
3.1. Addition $ (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i $
3.2. Multiplication $ (a + bi) \times (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i $
4.1. Conjugué Le conjugué d’un nombre complexe $z = a + bi$ est le nombre $\overline{z} = a – bi$.
4.2. Module
Le module d’un nombre complexe $z = a + bi$ est donné par :
$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} $
5. Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Définition
Soit $z$ un nombre complexe non nul. On peut écrire (z) sous la forme:
$z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$
où $r = |z|$ est le module de $z$ et $\theta$ est un argument de $z$. Cette représentation est appelée la forme trigonométrique de $z$.
$\newtheorem{theorem}{Théorème}\begin{theorem}[Formule de De Moivre] $
Pour tout nombre complexe $(z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)))$ et pour tout entier naturel ($n$), on a:
$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$
6. Forme exponentielle d’un nombre complexe
Grâce à la formule d’Euler, $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$, on peut représenter un nombre complexe sous forme exponentielle.
Définition
Soit $z$ un nombre complexe non nul. La forme exponentielle de $z$ est donnée par :
$z = re^{i\theta}$
où $r = |z|$ est le module de $z$ et $\theta$ est un argument de $z$.
$\newtheorem{theorem}{Théorème}\begin{theorem}[] $
La multiplication et la division de nombres complexes sont particulièrement simples sous la forme exponentielle. Soient $z_1 = r_1e^{i\theta_1}$ et $z_2 = r_2e^{i\theta_2}$ deux nombres complexes. Alors,
\[ z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\]
et, si $z_2 \neq 0$,
\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 – \theta_2)}\]
7. Propriétés fondamentales
Les nombres complexes possèdent de nombreuses propriétés intéressantes qui facilitent les calculs. Par exemple:
- Le conjugué du produit de deux nombres complexes est le produit de leurs conjugués.
- L’argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments.
