Limites et Continuité

Rappel du cours

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Cours sur les Limites et la Continuité
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10/08/2023

1. Limite d’une fonction en un point La limite d’une fonction (f(x)) en (x = a) est le nombre (L) tel que pour tout (\varepsilon > 0), il existe (\delta > 0) tel que si (0 < |x – a| < \delta) alors (|f(x) – L| < \varepsilon).

Notation:
[
\lim_{x \to a} f(x) = L
]

2. Continuité d’une fonction en un point Une fonction (f(x)) est dite continue en (x = a) si et seulement si les trois conditions suivantes sont remplies:

1. (f(a)) est défini.
   
2. (\lim_{x \to a} f(x)) existe.
   
3. (\lim_{x \to a} f(x) = f(a)).
   

Si une fonction est continue sur un intervalle, elle est dite continue sur cet intervalle.

3. Exemples 3.1. Limite Considérons la fonction (f(x) = x^2). La limite de (f(x)) lorsque (x) tend vers 2 est:
[
\lim_{x \to 2} x^2 = 4
]

3.2. Continuité La fonction (f(x) = x^2) est continue en tout point (x = a), car la limite de (f(x)) en (x = a) est toujours égale à (f(a)).