Rappels de cours

[Latexpage]




Cours sur les Espaces Vectoriels Normés
Epsilon.tn
8 octobre 2023

1. Rappels sur les espaces vectoriels 1.1. Définition d’un espace vectoriel On rappelle qu’un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$ est un ensemble muni de deux opérations:


    Addition : $E \times E \rightarrow E$ vérifiant les propriétés :

    • Commutativité : $\forall u, v \in E, u + v = v + u$
    • Associativité : $\forall u, v, w \in E, (u + v) + w = u + (v + w)$
    • Élément neutre : $\exists 0 \in E$ tel que $\forall v \in V, v + 0 = v$
    • Inverse additif : $\forall v \in E, \exists -v \in E$ tel que $v + (-v) = 0$

    Multiplication par un scalaire : $K \times E \rightarrow E$ vérifiant les propriétés :


    • Associativité :
      $\forall \lambda, \mu \in K, \forall v \in E, \lambda (\mu v) = (\lambda \mu) v$
    • Distributivité par rapport à l’addition vectorielle : $\forall \lambda \in K, \forall u, v \in E, \lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v$
    • Distributivité par rapport à l’addition dans le corps : $\forall \lambda, \mu \in K, \forall v \in E, (\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v$
    • Élément neutre : $\forall v \in E, 1 \cdot v = v$

1.2. Système de vecteurs libre, système générateur, base 1.2.1. Système libreUn système de vecteurs $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n $ est dit libre si pour toute combinaison linéaire telle que $\lambda_1 \mathbf{v}_1 + \lambda_2 \mathbf{v}_2 + \ldots + \lambda_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0} $ on a nécessairement $ \lambda_1 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_n = 0 $.1.2.2. Système générateurUn système de vecteurs $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n $ est dit générateur de l’espace vectoriel $ E $ si tout vecteur $ \mathbf{u} $ de $ E $ peut être exprimé comme une combinaison linéaire des $ \mathbf{v}_i $.1.2.3. BaseUne base de l’espace vectoriel $E $ est un système de vecteurs qui est à la fois libre et générateur de $ E $.
$\newtheorem{theorem}{Théorème}
\begin{theorem}[Nombre d’éléments d’une base]$
Si un système de $n$ vecteurs forme une base de l’espace vectoriel $E$ alors tout autre système libre et générateur est aussi formé de $n$ éléments.


Définition: Le nombre d’éléments d’une base d’un espace vectoriel $E$ est appelé dimension de cet espace vectoriel.

2. Espaces Vectoriels Normés 2.1. Définitions Soit $E$ un espace vectorielsur un corps $\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}$ est soit $\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C} $).
Une norme sur $E$ est une fonction $ \left\lVert \cdot\right\lVert\ : V \to [0, \infty[$ vérifiant, pour tout $x, y \in E$ et $ \alpha \in K$ :


  1. $\left\lVert x \right\lVert \geq 0$ et( $ \left\lVert x \right\lVert = 0 $ si et seulement si $ x = 0 $)(Positivité et Définition).
  2. $\left\lVert \alpha x\right\lVert = \alpha \left\lVert x\right\lVert $ (Homogénéité).
  3. $ \left\lVert x + y \right\lVert \leq \left\lVert x \right\lVert + \left\lVert y \right\lVert $ (Inégalité triangulaire).

On appelle espace vectoriel normé tout espace vectoriel muni d’une norme.2.2. Exemples

1- L’espace $\mathbb{R}^n$ muni de la norme euclidienne définie par $\left\lVert x\right\lVert_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} $ est un espace vectoriel normé.


2- La fonction définie par $\left\lVert x\right\lVert_1 = | x_1|+| x_2|+ \dots + | x_n| $ est une norme sur $\mathbb{R}^n$.

3- La fonction définie par $\left\lVert x\right\lVert_\infty =
\max {| x_1|,| x_2|, \dots , | x_n|}$est une norme sur $\mathbb{R}^n$.

2.3. Remarques 

$\textbf{ Remarque 1-}$  Pour $n=1$, les trois normes données dans les exemples précédents sont identiques et correspondent à la valeur absolue d'un nobre réel, puisque, dans ce cas $\mathbb{R}^n$ est égal à $\mathbb{R}$.$\newline$ 

 $\textbf{ Remarque 2-}$ Dans les exemples précédents, on n'a pas prouvé que les fonctions données vérifient les propriértés d'une norme. \`A faire en exercice.

3. Introduction Dans la suite de ce cours, nous étudierons les concepts fondamentaux des suites dans un espace vectoriel normé, y compris les suites de Cauchy, la convergence des suites, et examinerons des exemples pour illustrer ces concepts.

4. Définition des Suites dans un Espace Vectoriel Normé Dans un espace vectoriel normé (E), une suite ( (x_n) ) est une liste infinie d’éléments de (E) indexée par les nombres naturels ((n = 1, 2, 3, \ldots)). Chaque (x_n) est un élément de l’espace (E).

4.1. Suites de Cauchy Une suite ( (x_n) ) dans (E) est dite suite de Cauchy si, pour tout ( \varepsilon > 0 ), il existe un entier naturel ( N ) tel que pour tous les indices ( n, m \geq N ), la distance entre (x_n) et (x_m) (mesurée par la norme) est inférieure à ( \varepsilon ).

4.2. Convergence d’une Suite Une suite ( (x_n) ) dans (E) converge vers un élément (x \in E) si, pour tout ( \varepsilon > 0 ), il existe un entier naturel ( N ) tel que pour tous les indices ( n \geq N ), la distance entre (x_n) et (x) est inférieure à ( \varepsilon ).

5. Exemples 5.1. Suite Convergente La suite ( (x_n) = \left(\frac{1}{n}\right) ) converge vers 0 dans l’espace vectoriel normé des réels.

5.2. Suite de Cauchy La suite ( (x_n) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n ) est une suite de Cauchy dans (\mathbb{R}).

5.3. Suite Divergente La suite ( (x_n) = (-1)^n ) ne converge pas dans l’espace vectoriel normé des réels.